一、为什么使用MPC控制器?

• ① MPC可以处理多输入耦合控制多输出的问题:

  

• ② MPC可以处理对于控制量有约束的问题

  比如，驾驶汽车的时候，汽车速度和转角都有上限

• ③ MPC具有预测效果

  即MPC考虑的不是根据当前参考值进行控制，而是根据预测时间内的参考去预测当前的控制量，比如在小车转弯时，就避免了可能在过弯处急转弯。

MPC需要的算力高一些，因为MPC控制过程中，每个时间步都要求解一个相同形式不同参数的优化问题。

二、什么是MPC控制器?

• 小车的数学模型:

• 优化器：

​ 优化器要考虑两点:

​ ① 预测轨迹与参考轨迹偏差最小

​ ②控制量不突变
$$CostFunction\doteq J=\sum _{i=1}^p{w}_e{e}_{k+i}^2+\sum _{i=0}^{p-1}{w}_{\Delta u}{\Delta u_{k+i}}^2$$

$$\begin{gathered} 尽管优化器输出的是之后p个时间步的控制量，但是在当前时间步， \\ MPC仅将这个最有序列的第一步应用到汽车上，忽略其余部分 \end{gathered}$$

三、MPC控制器的参数如何设置?

• 参数既会影响控制器的性能，又会影响计算复杂度。

• MPC主要的参数如下:

  • ① 采样时间
  • ② 预测范围、控制范围
  • ③ 约束
  • ④ 损失函数的权重

3.1 采样时间

采样时间过大，当干扰发生，控制器无法做出及时的反应。

采样时间过小，会导致过多的计算负载。

可以测量系统的阶跃响应，根据上升时间选择采样时间

3.2 预测范围、控制范围

我们应该选择一个涵盖系统重要动态的预测范围

预测范围过短，无法及时反映，可能会在弯道处急转弯

预测范围过长，之后的不可预测事件可能会白白浪费算力。

我们通常选择 20-30个样本覆盖系统的动态响应，如下图:

通常只有前几个时间步的控制对于预测影响较大(因为前几个要拽向ref轨迹，后面的维持稳定)， 因此，选择大的控制范围只会白白增大计算复杂度

经验法则: 控制范围 = 10%~20% × 预测范围

3.3 约束条件

可以对 控制量、控制量变化率、状态量进行约束

约束分为硬约束和软约束，无法违反的(比如最大车速)叫硬约束

软约束可以违反，但我们不希望违反，可以把它设计到损失函数之中

建议将输出约束设置为软约束，并避免对控制量及其变化率设置硬约束，否则可能会出现无解的情况

3.4 权重

损失函数由多个部分组成，需要设置权重

比如最基本的，我们既希望预测轨迹接近参考轨迹，又希望控制量是平滑的。

四、自适应增益调度和非线性MPC

• 线性系统 + 线性约束 + 时不变约束条件 => 可以使用线性时不变MPC控制器 => 凸优化问题

• 但是如果系统是非线性的，就要使用自适应MPC、时间表MPC

  • 自适应MPC：具体思路是在非线性模型的各个工作点，建立多套线性模型

    ​ 自适应MPC的线性模型在不同工作点上结构，超参数相同，只是矩阵参数不同而已

• 时间表MPC: 对于不同工作点，需要设置不同数量超参数(控制量数目、预测步长…)的模型
  

如果是非线性的，那么优化问题就会变成多极值点的非凸优化问题，求解较复杂

五、Simulink仿真MPC控制器

$$假定V_x恒为15m/s,使用线性化汽车模型$$

模型下载地址: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/68992-designing-an-mpc-controller-with-simulink?s_eid=PSM_15028

(一定要记得路径，matlab界面的路径一定得是模型文件路径。路径不对的话，plant和reference的mask无法显示正确，会显示问号，同时直接运行会报错)

步骤: https://ww2.mathworks.cn/help/releases/R2017b/mpc/examples/autonomous-vehicle-steering-using-model-predictive-control.html

5.1 数学分析

下面依次介绍各个模块:

• ① Plant: 车辆线性模型

  右键Plant模块，选择Block Parameters：

$$小车是自行车模型(bicyclemodelwithtwodegreesoffreedom),且V_x恒为15m/s:$$

• reference: 小车的自行车模型

• 原理(1): 前轮运动 = 前轮相对于车身运动 + 车身相对于质心运动(旋转) + 小车质心相对于地面运动

• 原理(2):$$\Delta 轮胎受到垂直于车身的力=C_r(或者C_l)\Delta 轮胎转角$$

  (注意: 自行车模型代替小车模型时，四轮变为两轮，因此$$自行车的C_f应该是小车的2C_f$$)

进行动力学分析：
$$由于\psi 较小，简化为线性模型即:\dot{Y}=V_x\psi +V_y[公式一]$$
$$\begin{gathered} \Delta 前轮相对于车身转角=(\frac{V_y+\dot{\psi }{l}_f}{V_x}) \\ \Delta 后轮相对于车身转角=(-\frac{V_y-\dot{\psi }{l}_r}{V_x}) \\ \Rightarrow \\ 前轮受到垂直于车身的力=2C_f(-\psi +\delta +\Delta 前轮相对于车身转角) \\ 后轮受到垂直于车身的力=2C_r(-\psi +\Delta 后轮相对于车身转角) \\ \Rightarrow \\ 根据[公式一]: \\ m\ddot{y}=-m{V}_x\dot{\psi }-m\dot{V_y} \\ m\dot{V_y}=前轮受到垂直于车身的力+后轮受到垂直于车身的力 \\ \Rightarrow m\ddot{y}=-m{V}_x\dot{\psi }+2C_f[-\psi +\delta -\frac{V_y+\dot{\psi }{l}_f}{V_x}]+2C_r(-\psi -\frac{V_y-\dot{\psi }{l}_r}{V_x}) \\ 将[公式一]代入到上式: \\ \ddot{y}=-\frac{2C_f+2C_r}{m{V}_x}\dot{y}-(V_x+\frac{2C_f{l}_f-2C_r{l}_r}{m{V}_x})\dot{\psi }+\frac{2C_{\alpha }\delta }{m}[公式二] \end{gathered}$$

求得小车模型的状态空间表达式为 : d d t [ y ˙ ψ ψ ˙ ] = [ − 2 C f + 2 C r m V x 0 − ( V x + 2 C f l f − 2 C r l r m V x ) 0 0 1 − 2 l f C f − 2 l r C r I z V x 0 − 2 l f 2 C f + 2 l r 2 C r I z V x ] [ y ˙ ψ ψ ˙ ] + [ 2 C f m 0 2 l f C f I z ] δ 求得小车模型的状态空间表达式为: \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\ \frac{d}{dt}

$$\begin{bmatrix} \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} -\frac{2C_f+2C_r}{mV_x} & 0 & -(V_x+\frac{2C_fl_f-2C_rl_r}{mV_x}) \\ 0 & 0 & 1\\ -\frac{2l_fC_f-2l_rC_r}{I_z V_x} & 0 & - \frac{2l_f^2C_f+2l_r^2C_r}{I_zV_x} \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{bmatrix}$$ + $$\begin{bmatrix} 2 \frac{C_f}{m}\\ 0 \\ \frac{2l_fC_f}{I_z} \end{bmatrix}$$ \delta 求得小车模型的状态空间表达式为:dtd​⎣ ⎡​y˙​ψψ˙​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​−mVx​2Cf​+2Cr​​0−Iz​Vx​2lf​Cf​−2lr​Cr​​​000​−(Vx​+mVx​2Cf​lf​−2Cr​lr​​)1−Iz​Vx​2lf2​Cf​+2lr2​Cr​​​⎦ ⎤​⎣ ⎡​y˙​ψψ˙​​⎦ ⎤​+⎣ ⎡​2mCf​​0Iz​2lf​Cf​​​⎦ ⎤​δ
正好就是Parameters中的A,B,C,D矩阵

5.2 实验过程

导入矩阵和参考轨迹参数，双击Params.mat即可：

需要更换参考轨迹的话，参考以下方法生成新的posRef和yawRef

打开APP->Driving Scenario designer->选择道路和参考轨迹

开始仿真: