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【数据结构】树及二叉树的概念

2023-04-26

😛作者:日出等日落📘专栏:数据结构一次失败,只是证明我们成功的决心还够坚强。                  &n

😛作者:日出等日落

📘 专栏:数据结构

一次失败,只是证明我们成功的决心还够坚强。                                        ——博 维

目录

 🎄树概念及结构:

✔树的概念:

✔树的相关概念 :​编辑

 ✔树的表示:

✔树在实际中的运用:

🎄二叉树概念及结构

✔概念

✔现实中的二叉树: 

✔特殊的二叉树: 

 ✔二叉树的性质:


 🎄树概念及结构:

✔树的概念:

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。

  • 有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点
  • 除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
  • 因此,树是递归定义的。

 注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构

 这里最上面的三个图,他们之间构成了环,都不是树

✔树的相关概念 :

  • 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
  • 叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点
  • 非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点
  • 双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
  • 孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
  • 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
  • 树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
  • 节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
  • 树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
  • 堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点
  • 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
  • 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
  • 森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林; 

注:颜色不是黑色的重要

 ✔树的表示:

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间 的关系,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法 等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

 

✔树在实际中的运用:

 

 就像电脑中每个磁盘中的文件也是树在实际当中的运用

🎄二叉树概念及结构

✔概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出:

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树 

注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的: 

✔现实中的二叉树: 

来让我们看看大自然创造的鬼斧神工:

✔特殊的二叉树: 

1. 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

 

 ✔二叉树的性质:

  1. .若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点.
  2. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h - 1.
  3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有 n0= n2+1
  4. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h=log2(n+1) . (ps:log2(n+1) 是log以2 为底,n+1为对数)
  5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对 于序号为i的结点有:

    1. 若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点

    2. 若2i+1=n否则无左孩子

    3. 若2i+2=n否则无右孩子

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