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【算法系列 | 4】深入解析排序算法之——归并排序

2023-06-26

数组 arr 部分
序言你只管努力，其他交给时间，时间会证明一切。文章标记颜色说明：黄色：重要标题红色：用来标记结论绿色：用来标记一级论点蓝色：用来标记二级论点决定开一个算法专栏，希望能帮助大家很好的了解算法。主要深入解析每个算法，从概念到示例。我们一起努力，成为更好的自己！今天第3讲，讲一下排序算法的归并排序（Mer

序言

你只管努力，其他交给时间，时间会证明一切。

文章标记颜色说明：

  • 黄色：重要标题
  • 红色：用来标记结论
  • 绿色：用来标记一级论点
  • 蓝色：用来标记二级论点

决定开一个算法专栏，希望能帮助大家很好的了解算法。主要深入解析每个算法，从概念到示例。

我们一起努力，成为更好的自己！

今天第3讲，讲一下排序算法的归并排序（Merge Sort）

1 基础介绍

排序算法是很常见的一类问题，主要是将一组数据按照某种规则进行排序。

以下是一些常见的排序算法：

  1. 冒泡排序（Bubble Sort）

  2. 插入排序（Insertion Sort）

  3. 选择排序（Selection Sort）

  4. 归并排序（Merge Sort）

  5. 快速排序（Quick Sort）

  6. 堆排序（Heap Sort）

一、基本介绍介绍

1.1 原理介绍

归并排序（Merge Sort）是一种基于分治思想的排序算法，它将待排序的数组分成两部分，分别对这两部分递归地进行排序，最后将两个有序子数组合并成一个有序数组。它的时间复杂度为 O(nlogn)。

归并排序的基本思路是将待排序的数组分成两个部分，分别对这两部分进行排序，然后将排好序的两部分合并成一个有序数组。这个过程可以用递归来实现。具体的实现步骤如下：

  1. 分解：将待排序的数组不断分成两个子数组，直到每个子数组只有一个元素为止。

  2. 合并：将相邻的两个子数组合并成一个有序数组，直到最后只剩下一个有序数组为止。

合并的过程中，需要用到一个辅助数组来暂存合并后的有序数组。具体来说，假设待合并的两个有序数组分别为 A 和 B，它们的长度分别为 n 和 m，合并后的有序数组为 C，那么合并的过程可以按如下步骤进行：

  1. 定义三个指针 i、j 和 k，分别指向数组 A、B 和 C 的起始位置。

  2. 比较 A[i] 和 B[j] 的大小，将小的元素放入 C[k] 中，并将对应指针向后移动一位。

  3. 重复步骤 2，直到其中一个数组的元素全部放入 C 中。

  4. 将另一个数组中剩余的元素放入 C 中。

归并排序的优点是稳定性好，即对于相等的元素，在排序前后它们的相对位置不会改变。缺点是需要额外的空间来存储辅助数组。

原理简单示例 

以下是一个示例，演示了如何使用归并排序对一个数组进行排序：

假设要对数组 [5, 2, 4, 6, 1, 3] 进行排序。

  1. 首先将数组分成两部分：[5, 2, 4] 和 [6, 1, 3]。

  2. 对左右两部分分别递归调用归并排序。对于左半部分，继续进行分解，将其分成两部分：[5] 和 [2, 4]。对于右半部分，也进行相同的操作，将其分成两部分：[6] 和 [1, 3]。

    对于 [5] 和 [2, 4]，由于它们的长度都小于等于 1，因此直接返回它们本身。对于 [6] 和 [1, 3]，同样返回它们本身。

  3. 接下来将排好序的左右两部分合并成一个有序数组。对于左半部分，由于它只有一个元素，因此可以直接将其作为有序数组。对于右半部分，需要将 [1, 3] 进行排序，排序后得到 [1, 3, 6]。

  4. 将排好序的左右两部分合并成一个有序数组。对于左半部分，指针 i 指向其起始位置，即 0；对于右半部分，指针 j 指向其起始位置，即 0。比较左右两部分的元素大小，发现左半部分的第一个元素 5 大于右半部分的第一个元素 1，因此将 1 添加到新的数组 sorted_arr 中，并将右半部分的指针 j 向后移动一位。此时，sorted_arr 的内容为 [1]。接着比较左半部分的第二个元素 2 和右半部分的第一个元素 3，发现左半部分的元素较小，因此将 2 添加到 sorted_arr 中，并将左半部分的指针 i 向后移动一位。此时，sorted_arr 的内容为 [1, 2]。接着继续比较左右两部分的元素大小，将它们依次添加到 sorted_arr 中。最终得到排好序的数组 [1, 2, 3, 5, 6]。

因此，对于输入的数组 [5, 2, 4, 6, 1, 3]，使用归并排序后得到的排好序的数组为 [1, 2, 3, 4, 5, 6]。

1.2 复杂度 

归并排序的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 是待排序数组的长度。

这个复杂度可以通过分治的思想来解释。

首先将待排序的数组分成两部分，对每一部分递归调用归并排序，然后将两部分合并成一个有序数组。

每次递归调用都将数组的长度减半，因此需要进行 logn 次递归调用。在每个递归层次中，需要将两个有序数组合并成一个有序数组，这一过程需要线性时间 O(n)。因此，归并排序的总时间复杂度为 O(nlogn)。

归并排序的空间复杂度为 O(n)，其中 n 是待排序数组的长度。在排序过程中，需要使用一个辅助数组来存储合并后的有序数组。

这个辅助数组的长度等于待排序数组的长度，因此归并排序的空间复杂度为 O(n)。如果实现中使用链表来存储数据，空间复杂度可以降低为 O(1)。

1.3使用场景

归并排序的应用场景比较广泛，主要适用于以下几种情况：

  1. 对于大规模的数据排序：归并排序的时间复杂度为 O(nlogn)，相比于其他排序算法如冒泡排序、插入排序等，它在处理大规模数据时更加高效。

  2. 对于稳定排序的需求：归并排序是一种稳定排序算法，即对于相等的元素，在排序前后它们的相对位置不会改变。

  3. 对于需要保证排序稳定性的需求：归并排序是一种基于比较的排序算法，不依赖于数据的初始状态，具有较好的稳定性。

  4. 对于需要多路排序的需求：归并排序可以轻松地扩展到多路排序，即将待排序的数组分成多个子数组，对每个子数组分别进行归并排序，然后将它们合并成一个有序数组。

  5. 对于需要外部排序的需求：归并排序可以应用于外部排序，即在排序过程中将数据存储在外部存储器中，而不是在内存中。在外部排序中，需要使用多路归并排序来合并不同的子文件。

总的来说，归并排序是一种高效、稳定的排序算法，适用于大规模数据的排序、需要保证排序稳定性的需求以及外部排序等场景。

二、代码实现

2.1 Python 实现

以下是使用 Python 实现归并排序的完整代码：

  1. def merge_sort(arr):
  2.     if len(arr) <= 1:
  3.         return arr
  4.  
  5.     # 将数组分成两个部分
  6.     mid = len(arr) // 2
  7.     left_half = arr[:mid]
  8.     right_half = arr[mid:]
  9.  
  10.     # 对左右两部分分别递归调用归并排序
  11.     left_half = merge_sort(left_half)
  12.     right_half = merge_sort(right_half)
  13.  
  14.     # 合并左右两部分
  15.     return merge(left_half, right_half)
  16.  
  17. def merge(left_half, right_half):
  18.     i = j = 0
  19.     merged = []
  20.  
  21.     # 比较左右两部分的元素，将较小的元素添加到 merged 中
  22.     while i < len(left_half) and j < len(right_half):
  23.         if left_half[i] < right_half[j]:
  24.             merged.append(left_half[i])
  25.             i += 1
  26.         else:
  27.             merged.append(right_half[j])
  28.             j += 1
  29.  
  30.     # 将左右两部分中剩余的元素添加到 merged 中
  31.     merged += left_half[i:]
  32.     merged += right_half[j:]
  33.  
  34.     return merged

代码讲解 

这个实现使用了两个函数，一个是 merge_sort() 函数，用于进行递归调用，另一个是 merge() 函数，用于合并两个有序数组。下面对这两个函数进行详细讲解：

merge_sort() 函数

  1. def merge_sort(arr):
  2.     if len(arr) <= 1:
  3.         return arr
  4.  
  5.     # 将数组分成两个部分
  6.     mid = len(arr) // 2
  7.     left_half = arr[:mid]
  8.     right_half = arr[mid:]
  9.  
  10.     # 对左右两部分分别递归调用归并排序
  11.     left_half = merge_sort(left_half)
  12.     right_half = merge_sort(right_half)
  13.  
  14.     # 合并左右两部分
  15.     return merge(left_half, right_half)
  16. ```
  17.  
  18. 这个函数使用递归的方式对数组进行排序。对于输入的数组，首先判断其长度是否小于等于 1，如果是，则直接返回该数组。否则，将数组分成两个部分，分别对左半部分和右半部分递归调用 `merge_sort()` 函数。最后，将排好序的左右两部分合并成一个有序数组，并将其作为结果返回。需要注意的是，此处的 `merge()` 函数是在 `merge_sort()` 函数中调用的，因为只有在递归到最底层时才会对单个元素进行排序，而在其他情况下需要将数组分成两部分进行递归调用。
  19.

merge() 函数

  1. def merge(left_half, right_half):
  2.     i = j = 0
  3.     merged = []
  4.  
  5.     # 比较左右两部分的元素，将较小的元素添加到 merged 中
  6.     while i < len(left_half) and j < len(right_half):
  7.         if left_half[i] < right_half[j]:
  8.             merged.append(left_half[i])
  9.             i += 1
  10.         else:
  11.             merged.append(right_half[j])
  12.             j += 1
  13.  
  14.     # 将左右两部分中剩余的元素添加到 merged 中
  15.     merged += left_half[i:]
  16.     merged += right_half[j:]
  17.  
  18.     return merged
  19. ```
  20.  
  21. 这个函数用于合并两个有序数组。在函数内部，使用两个指针 i 和 j 分别指向左右两部分的起始位置，以及一个新的数组 merged 来存储合并后的结果。合并的过程中，不断比较左右两部分的元素大小，并将较小的元素加入 merged 中。最后，将左右两部分中剩余的元素添加到 merged 中，最终返回 merged。

在实现归并排序时，需要注意以下几点：

  1. 判断数组长度是否小于等于 1：这一步是递归调用的终止条件，防止出现无限递归的情况。

  2. 将数组分成两部分：需要使用 Python 的切片操作来实现，将数组分成左右两部分。

  3. 对左右两部分进行递归调用：将左右两部分作为参数传入 merge_sort() 函数并进行递归调用，直到数组长度小于等于 1。

  4. 合并两个有序数组：使用 merge() 函数将排好序的左右两部分合并成一个有序数组。

测试 

在使用上述代码实现归并排序时，可以通过以下代码测试：

  1. arr = [3, 5, 1, 9, 7, 2, 8, 4, 6]
  2. print(merge_sort(arr))  # 输出 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

这个例子中，将一个无序的数组作为输入，调用 merge_sort() 函数进行排序，并输出排好序的结果。

总的来说，这个实现是一种简单而清晰的归并排序实现方式，适合初学者学习和理解。虽然这个实现的时间复杂度为 O(nlogn)，但其空间复杂度为 O(n)，因为在合并过程中需要额外的空间来存储排好序的元素，因此在处理大规模数据时可能会占用较多的内存。

2.2Java实现

以下是使用 Java 实现归并排序的代码：

  1. public class MergeSort {
  2.     public static void main(String[] args) {
  3.         int[] arr = {3, 5, 1, 9, 7, 2, 8, 4, 6};
  4.         mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
  5.         System.out.println(Arrays.toString(arr)); // 输出 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
  6.     }
  7.  
  8.     public static void mergeSort(int[] arr, int left, int right) {
  9.         if (left >= right) {
  10.             return;
  11.         }
  12.  
  13.         int mid = (left + right) / 2;
  14.         mergeSort(arr, left, mid);
  15.         mergeSort(arr, mid + 1, right);
  16.         merge(arr, left, mid, right);
  17.     }
  18.  
  19.     public static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right) {
  20.         int[] temp = new int[right - left + 1];
  21.         int i = left, j = mid + 1, k = 0;
  22.  
  23.         while (i <= mid && j <= right) {
  24.             if (arr[i] < arr[j]) {
  25.                 temp[k++] = arr[i++];
  26.             } else {
  27.                 temp[k++] = arr[j++];
  28.             }
  29.         }
  30.  
  31.         while (i <= mid) {
  32.             temp[k++] = arr[i++];
  33.         }
  34.  
  35.         while (j <= right) {
  36.             temp[k++] = arr[j++];
  37.         }
  38.  
  39.         for (int m = 0; m < temp.length; m++) {
  40.             arr[left + m] = temp[m];
  41.         }
  42.     }
  43. }

这个实现也使用了两个函数，一个是 mergeSort() 函数，用于进行递归调用，另一个是 merge() 函数，用于合并两个有序数组。

下面对这两个函数进行详细讲解：

mergeSort() 函数

  1. public static void mergeSort(int[] arr, int left, int right) {
  2.     if (left >= right) {
  3.         return;
  4.     }
  5.  
  6.     int mid = (left + right) / 2;
  7.     mergeSort(arr, left, mid);
  8.     mergeSort(arr, mid + 1, right);
  9.     merge(arr, left, mid, right);
  10. }
  11.  
  12.

这个函数使用递归的方式对数组进行排序。

对于输入的数组和左右下标，首先判断左下标是否大于等于右下标，如果是，则直接返回。否则，将数组分成两个部分，分别对左半部分和右半部分递归调用 `mergeSort()` 函数。

最后，将排好序的左右两部分合并成一个有序数组，并将其作为结果返回。需要注意的是，此处的 `merge()` 函数是在 `mergeSort()` 函数中调用的，因为只有在递归到最底层时才会对单个元素进行排序，而在其他情况下需要将数组分成两部分进行递归调用。

merge() 函数

  1. public static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right) {
  2.     int[] temp = new int[right - left + 1];
  3.     int i = left, j = mid + 1, k = 0;
  4.  
  5.     while (i <= mid && j <= right) {
  6.         if (arr[i] < arr[j]) {
  7.             temp[k++] = arr[i++];
  8.         } else {
  9.             temp[k++] = arr[j++];
  10.         }
  11.     }
  12.  
  13.     while (i <= mid) {
  14.         temp[k++] = arr[i++];
  15.     }
  16.  
  17.     while (j <= right) {
  18.         temp[k++] = arr[j++];
  19.     }
  20.  
  21.     for (int m = 0; m < temp.length; m++) {
  22.         arr[left + m] = temp[m];
  23.     }
  24. }
  25.

这个函数用于合并两个有序数组。在函数内部，使用两个指针 i 和 j 分别指向左右两部分的起始位置，以及一个新的数组 temp 来存储合并后的结果。

合并的过程中，不断比较左右两部分的元素大小，并将较小的元素加入 temp 中。

最后，将左右两部分中剩余的元素添加到 temp 中，最终将 temp 中的元素复制回原数组中。

需要注意的是，在复制回原数组时，需要计算出每个元素在原数组中的位置。

这个归并排序的实现是比较基础的，但是足以演示归并排序的算法思想和实现过程。当然，实际应用中可能需要对代码进行一些优化，比如可以对小数组使用插入排序来提高效率，或者使用迭代的方式来避免递归调用带来的额外开销。

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