仅需六步，从零实现机器学习算法

2023-02-26

数据权重 yhat

从头开始写机器学习算法能够获得很多经验。当你最终完成时，你会惊喜万分，而且你明白这背后究竟发生了什么。有些算法比较复杂，我们不从简单的算法开始，而是要从非常简单的算法开始，比如单层感知器。本文以感知器为例，通过以下6个步骤引导你从头开始写算法：对算法有基本的了解找到不同的学习资源将算法分解成块从简单

从头开始写机器学习算法能够获得很多经验。当你最终完成时，你会惊喜万分，而且你明白这背后究竟发生了什么。

有些算法比较复杂，我们不从简单的算法开始，而是要从非常简单的算法开始，比如单层感知器。

本文以感知器为例，通过以下 6 个步骤引导你从头开始写算法：

对算法有基本的了解
找到不同的学习资源
将算法分解成块
从简单的例子开始
用可信的实现进行验证
写下你的过程

一、基本了解

不了解基础知识，就无法从头开始处理算法。至少，你要能回答下列问题：

它是什么?
它一般用在什么地方?
什么时候不能用它?

就感知器而言，这些问题的答案如下：

单层感知器是最基础的神经网络，一般用于二分类问题(1 或 0，「是」或「否」)。
它可以应用在一些简单的地方，比如情感分析(积极反应或消极反应)、贷款违约预测(「会违约」，「不会违约」)。在这两种情况中，决策边界都是线性的。
当决策边界是非线性的时候不能使用感知器，要用不同的方法。

二、借助不同的学习资源

在对模型有了基本了解之后，就可以开始研究了。有人用教科书学得更好，而有人用视频学得更好。就我而言，我喜欢到处转转，用各种各样的资源学习。

如果是学数学细节的话，书的效果很好(参见：

https://www.dataoptimal.com/data-science-books-2018/)，但对于更实际的例子，我更推荐博客和 YouTube 视频。

以下列举了一些关于感知器不错的资源：

书：

《统计学习基础》(The Elements of Statistical Learning)，第 4.5.1 节(https://web.stanford.edu/~hastie/Papers/ESLII.pdf)
《深入理解机器学习：从原理到算法》，第 21.4 节(https://www.cs.huji.ac.il/~shais/UnderstandingMachineLearning/understanding-machine-learning-theory-algorithms.pdf)

博客：

Jason Brownlee 写的《如何用 Python 从零开始实现感知器算法》(https://machinelearningmastery.com/implement-perceptron-algorithm-scratch-python/)
Sebastian Raschka 写的《单层神经网络和梯度下降》(https://sebastianraschka.com/Articles/2015_singlelayer_neurons.html)

视频：

感知器训练(https://www.youtube.com/watch?v=5g0TPrxKK6o)
感知器算法的工作原理(https://www.youtube.com/watch?v=1XkjVl-j8MM)

三、将算法分解成块

现在我们已经收集好了资料，是时候开始学习了。与其从头读一个章节或者一篇博客，不如先浏览章节标题和其他重要信息。写下要点，并试着概述算法。

在看过这些资料之后，我将感知器分成下列 5 个模块：

初始化权重
将输入和权重相乘之后再求和
比较上述结果和阈值，计算输出(1 或 0)
更新权重
重复

接下来我们详细叙述每一个模块的内容。

1. 初始化权重

(1) 首先，我们要初始化权重向量。

权重数量要和特征数量相同。假设我们有三个特征，权重向量如下图所示。权重向量一般会初始化为 0，此例中将一直采用该初始化值。

(2) 输入和权重相乘再求和

接下来，我们就要将输入和权重相乘，再对其求和。为了更易于理解，我给***行中的权重及其对应特征涂上了颜色。

在我们将特征和权重相乘之后，对乘积求和。一般将其称为点积。

最终结果是 0，此时用「f」表示这个暂时的结果。

(3) 和阈值比较

计算出点积后，我们要将它和阈值进行比较。我将阈值定为 0，你可以用这个阈值，也可以试一下其他值。

由于之前计算出的点积「f」为 0，不比阈值 0 大，因此估计值也等于 0。

将估计值标记为「y hat」，y hat 的下标 0 对应的是***行。当然你也可以用 1 表示***行，这无关紧要，我选择从 0 开始。

如果将这个结果和真值比较的话，可以看出我们当前的权重没有正确地预测出真实的输出。

由于我们的预测错了，因此要更新权重，这就要进行下一步了。

(4) 更新权重

我们要用到下面的等式：

基本思想是在迭代「n」时调整当前权重，这样我们将在下一次迭代「n+1」时得到新权重。

为了调整权重，我们需要设定「学习率」，用希腊字母「eta(η)」标记。我将学习率设为 0.1，当然就像阈值一样，你也可以用不同的数值。

目前本教程主要介绍了：

现在我们要继续计算迭代 n=2 时的新权重了。

我们成功完成了感知器算法的***次迭代。

(5) 重复

由于我们的算法没能计算出正确的输出，因此还要继续。

一般需要进行大量的迭代。遍历数据集中的每一行，每一次迭代都要更新权重。一般将完整遍历一次数据集称为一个「epoch」。

我们的数据集有 3 行，因此如果要完成 1 个 epoch 需要经历 3 次迭代。我们也可以设置迭代总数或 epoch 数来执行算法，比如指定 30 次迭代(或 10 个 epoch)。与阈值和学习率一样，epoch 也是可以随意使用的参数。

在下一次迭代中，我们将使用第二行特征。

此处不再重复计算过程，下图给出了下一个点积的计算：

接着就可以比较该点积和阈值来计算新的估计值、更新权重，然后再继续。如果我们的数据是线性可分的，那么感知器最终将会收敛。

五、从简单的例子开始

我们已经将算法分解成块了，接下来就可以开始用代码实现它了。

简单起见，我一般会以非常小的「玩具数据集」开始。对这类问题而言，有一个很好的小型线性可分数据集，它就是与非门(NAND gate)。这是数字电路中一种常见的逻辑门。

由于这个数据集很小，我们可以手动将其输入到 Python 中。我添加了一列值为 1 的虚拟特征(dummy feature)「x0」，这样模型就可以计算偏置项了。你可以将偏置项视为可以促使模型正确分类的截距项。

以下是输入数据的代码：

# Importing libraries 
# NAND Gate 
# Note: x0 is a dummy variable for the bias term 
#     x0  x1  x2 
x = [[1., 0., 0.], 
     [1., 0., 1.], 
     [1., 1., 0.], 
     [1., 1., 1.]] 
 
y =[1., 
    1., 
    1., 
    0.] 
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与前面的章节一样，我将逐步完成算法、编写代码并对其进行测试。

1.初始化权重

***步是初始化权重。

# Initialize the weights 
import numpy as np 
w = np.zeros(len(x[0])) 
1.
2.
3.

Out: 
[ 0.  0.  0.] 
1.
2.

注意权重向量的长度要和特征长度相匹配。以 NAND 门为例，它的长度是 3。

2.将权重和输入相乘并对其求和

我们可以用 Numpy 轻松执行该运算，要用的方法是 .dot()。

从权重向量和***行特征的点积开始。

# Dot Product 
f = np.dot(w, x[0]) 
print f 
1.
2.
3.

Out: 
0.0 
1.
2.

如我们所料，结果是 0。为了与前面的笔记保持连贯性，设点积为变量「f」。

3.与阈值相比较

为了与前文保持连贯，将阈值「z」设为 0。若点积「f」大于 0，则预测值为 1，否则，预测值为 0。将预测值设为变量 yhat。

# Activation Function 
z = 0.0 
if f > z: 
    yhat = 1. 
else: 
    yhat = 0. 
 
print yhat 
1.
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3.
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7.
8.

Out: 
0.0 
1.
2.

正如我们所料，预测值是 0。

你可能注意到了在上文代码的注释中，这一步被称为「激活函数」。这是对这部分内容的更正式的描述。

从 NAND 输出的***行可以看到实际值是 1。由于预测值是错的，因此需要继续更新权重。

4.更新权重

现在已经做出了预测，我们准备更新权重。

# Update the weights 
eta = 0.1 
w[0] = w[0] + eta*(y[0] - yhat)*x[0][0] 
w[1] = w[1] + eta*(y[0] - yhat)*x[0][1] 
w[2] = w[2] + eta*(y[0] - yhat)*x[0][2] 
 
print w 
1.
2.
3.
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7.

Out: 
[ 0.1  0.   0. ] 
1.
2.

要像前文那样设置学习率。为与前文保持一致，将学习率 η 的值设为 0.1。为了便于阅读，我将对每次权重的更新进行硬编码。

权重更新完成。

5.重复

现在我们完成了每一个步骤，接下来就可以把它们组合在一起了。

我们尚未讨论的***一步是损失函数，我们需要将其最小化，它在本例中是误差项平方和。

我们要用它来计算误差，然后看模型的性能。

把它们都放在一起，就是完整的函数：

import numpy as np 
 
 
# Perceptron function 
def perceptron(x, y, z, eta, t): 
    ''' 
    Input Parameters: 
        x: data set of input features 
        y: actual outputs 
        z: activation function threshold 
        eta: learning rate 
        t: number of iterations 
    ''' 
 
    # initializing the weights 
    w = np.zeros(len(x[0]))       
    n = 0                         
 
    # initializing additional parameters to compute sum-of-squared errors 
    yhat_vec = np.ones(len(y))     # vector for predictions 
    errors = np.ones(len(y))       # vector for errors (actual - predictions) 
    J = []                         # vector for the SSE cost function 
 
    while n < t: for i in xrange(0, len(x)): # dot product f = np.dot(x[i], w) # activation function if f >= z:                                
                yhat = 1.                                
            else:                                    
                yhat = 0. 
            yhat_vec[i] = yhat 
 
            # updating the weights 
            for j in xrange(0, len(w)):              
                w[j] = w[j] + eta*(y[i]-yhat)*x[i][j] 
 
        n += 1 
        # computing the sum-of-squared errors 
        for i in xrange(0,len(y)):      
           errors[i] = (y[i]-yhat_vec[i])**2 
        J.append(0.5*np.sum(errors)) 
 
    return w, J 
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现在已经编写了完整的感知器代码，接着是运行代码：

#     x0  x1  x2 
x = [[1., 0., 0.], 
     [1., 0., 1.], 
     [1., 1., 0.], 
     [1., 1., 1.]] 
 
y =[1., 
    1., 
    1., 
    0.] 
 
z = 0.0 
eta = 0.1 
t = 50 
 
print "The weights are:" 
print perceptron(x, y, z, eta, t)[0] 
 
print "The errors are:" 
print perceptron(x, y, z, eta, t)[0] 
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我们可以看到，第 6 次迭代时误差趋近于 0，且在剩余迭代中误差一直是 0。当误差趋近于 0 并保持为 0 时，模型就收敛了。这告诉我们模型已经正确「学习」了适当的权重。

下一部分，我们将用计算好的权重在更大的数据集上进行预测。

五、用可信的实现进行验证

到目前为止，我们已经找到了不同的学习资源、手动完成了算法，并用简单的例子测试了算法。

现在要用可信的实现和我们的模型进行比较了。我们使用的是 scikit-learn 中的感知器

(http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.Perceptron.html)。

我们将按照以下几步进行比较：

导入数据
将数据分割为训练集和测试集
训练感知器
测试感知器
和 scikit-learn 感知器进行比较

1.导入数据

首先导入数据。你可以在这里

(https://github.com/dataoptimal/posts/blob/master/algorithms from scratch/dataset.csv)得到数据集的副本。这是我创建的线性可分数据集，确保感知器可以起作用。为了确认，我们还将数据绘制成图。

从图中很容易看出来，我们可以用一条直线将数据分开。

import pandas as pd 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
 
df = pd.read_csv("dataset.csv") 
plt.scatter(df.values[:,1], df.values[:,2], c = df['3'], alpha=0.8) 
1.
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6.

text

在继续之前，我先解释一下绘图的代码。我用 Pandas 导入 csv，它可以自动将数据放入 DataFrame 中。为了绘制数据，我要将值从 DataFrame 中取出来，因此我用了 .values 方法。特征在***列和第二列，因此我在散点图函数中用了这些特征。第 0 列是值为 1 的虚拟特征，这样就能计算截距。这与上一节中的 NAND 门操作相似。***，在散点图函数中令 c = df['3'], alpha = 0.8 为两个类着色。输出是第三列数据(0 或 1)，所以我告诉函数用列「3」给这两个类着色。

你可以在此处(https://matplotlib.org/api/_as_gen/matplotlib.pyplot.scatter.html)找到更多关于 Matplotlib 散点图函数的信息。

2.将数据分割成训练集/测试集

现在我们已经确定数据可线性分割，那么是时候分割数据了。

在与测试集不同的数据集上训练模型是很好的做法，这有助于避免过拟合。还有不同的方法，但是简单起见，我要用一个训练集和一个测试集。首先打乱数据。

dfdf = df.values   
 
np.random.seed(5) 
np.random.shuffle(df) 
1.
2.
3.
4.

先将数据从 DataFrame 变为 numpy 数组。这样就可以更容易地使用 numpy 函数了，比如 .shuffle。为了结果的可重复性，我设置了随机种子 (5)。完成后，我试着改变随机种子，并观察结果会产生怎样的变化。接下来，我将 70% 的数据分为训练集，将 30% 的数据作为测试集。

train = df[0:int(0.7*len(df))] 
test = df[int(0.7*len(df)):int(len(df))] 
1.
2.

***一步是分离训练集和测试集的特征和输出。

x_train = train[:, 0:3] 
y_train = train[:, 3] 
 
x_test = test[:, 0:3] 
y_test = test[:, 3] 
1.
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3.
4.
5.

我在这个例子中将 70% 的数据作为训练集，将 30% 的数据作为测试集，你们可以研究 k 折交叉验证等其他方法。

3.训练感知器

我们可以重复使用之前的章节中构建的代码。

def perceptron_train(x, y, z, eta, t): 
    ''' 
    Input Parameters: 
        x: data set of input features 
        y: actual outputs 
        z: activation function threshold 
        eta: learning rate 
        t: number of iterations 
    ''' 
 
    # initializing the weights 
    w = np.zeros(len(x[0]))       
    n = 0                         
 
    # initializing additional parameters to compute sum-of-squared errors 
    yhat_vec = np.ones(len(y))     # vector for predictions 
    errors = np.ones(len(y))       # vector for errors (actual - predictions) 
    J = []                         # vector for the SSE cost function 
 
    while n < t:          for i in xrange(0, len(x)):                                           # dot product             f = np.dot(x[i], w)                                   # activation function             if f >= z:                                
                yhat = 1.                                
            else:                                    
                yhat = 0. 
            yhat_vec[i] = yhat 
 
            # updating the weights 
            for j in xrange(0, len(w)):              
                w[j] = w[j] + eta*(y[i]-yhat)*x[i][j] 
 
        n += 1 
        # computing the sum-of-squared errors 
        for i in xrange(0,len(y)):      
           errors[i] = (y[i]-yhat_vec[i])**2 
        J.append(0.5*np.sum(errors)) 
 
    return w, J 
 
z = 0.0 
eta = 0.1 
t = 50 
 
perceptron_train(x_train, y_train, z, eta, t) 
1.
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接下来看权重和误差项平方和。

w = perceptron_train(x_train, y_train, z, eta, t)[0] 
J = perceptron_train(x_train, y_train, z, eta, t)[1] 
 
print w 
print J 
1.
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3.
4.
5.

Out: 
[-0.5        -0.29850122  0.35054929] 
[4.5, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0] 
1.
2.
3.

现在权重对我们来说意义不大了，但是我们在测试感知器时还要再使用这些数值，以及用这些权重比较我们的模型和 scikit-learn 的模型。

根据误差项平方和可以看出，感知器已经收敛了，这是我们预料中的结果，因为数据是线性可分的。

4.测试感知器

现在是时候测试感知器了。我们要建立一个小的 perceptron_test 函数来测试模型。与前文类似，这个函数取我们之前用 perceptron_train 函数和特征计算出的权重的点积以及激活函数进行预测。之前唯一没见过的只有 accuracy_score，这是 scikit-learn 中的评估指标函数。

将所有的这些放在一起，代码如下：

from sklearn.metrics import accuracy_score 
 
w = perceptron_train(x_train, y_train, z, eta, t)[0] 
 
def perceptron_test(x, w, z, eta, t): 
    y_pred = [] 
    for i in xrange(0, len(x-1)): 
        f = np.dot(x[i], w)    
 
        # activation function 
        if f > z:                                
            yhat = 1                                
        else:                                    
            yhat = 0 
        y_pred.append(yhat) 
    return y_pred 
 
y_pred = perceptron_test(x_test, w, z, eta, t) 
 
print "The accuracy score is:" 
print accuracy_score(y_test, y_pred) 
1.
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得分为 1.0 表示我们的模型在所有的测试数据上都做出了正确的预测。因为数据集明显是可分的，所以结果正如我们所料。

5.和 scikit-learn 感知器进行比较

***一步是将我们的感知器和 scikit-learn 的感知器进行比较。下面的代码是 scikit-learn 感知器的代码：

from sklearn.linear_model import Perceptron 
 
# training the sklearn Perceptron 
clf = Perceptron(random_state=None, eta0=0.1, shuffle=False, fit_intercept=False) 
clf.fit(x_train, y_train) 
y_predict = clf.predict(x_test) 
1.
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3.
4.
5.
6.

现在我们已经训练了模型，接下来要比较这个模型的权重和我们的模型计算出来的权重。

Out: 
sklearn weights: 
[-0.5        -0.29850122  0.35054929] 
my perceptron weights: 
[-0.5        -0.29850122  0.35054929] 
1.
2.
3.
4.
5.

scikit-learn 模型中的权重和我们模型的权重完全相同。这意味着我们的模型可以正确地工作，这是个好消息。

在结束之前还有一些小问题。在 scikit-learn 模型中，我们将随机状态设置为「None」而且没有打乱数据。这是因为我们已经设置了随机种子，而且已经打乱过数据，不用再做一次。还需要将学习率 eta0 设置为 0.1，和我们的模型相同。***一点是截距。因为我们已经设置了值为 1 的虚拟特征列，因此模型可以自动拟合截距，所以不必在 scikit-learn 感知器中打开它。

这些看似都是小细节，但是如果不设置它们的话，我们的模型就无法重复得到相同的结果。这是重点。在使用模型之前，阅读文档并了解不同的设置有什么作用非常重要。

六、写下你的过程

这是该过程的***一步，可能也是最重要的一步。

你刚刚经历了学习、做笔记、从头开始写算法以及用可信实现进行比较的流程。不要浪费这些努力!

写下过程原因有二：