封面

T1:假期计划

题目描述

小熊的地图上有 n 个点，其中编号为 1 的是它的家、编号为2,3,…,n 的都是景点。部分点对之间有双向直达的公交线路。如果点 x 与 z1、z1 与 z2、……、z(k−1) 与 z(k)、z(k) 与 y 之间均有直达的线路，那么我们称 x 与 y 之间的行程可转车 k 次通达；特别地，如果点 x 与 y 之间有直达的线路，则称可转车 0 次通达。

很快就要放假了，小熊计划从家出发去 4 个不同的景点游玩，完成 5 段行程后回家：家→ 景点 A→ 景点 B → 景点 C → 景点 D → 家，且每段行程最多转车 k 次。转车时经过的点没有任何限制，既可以是家、也可以是景点，还可以重复经过相同的点。例如，在景点 A → 景点 B 的这段行程中，转车时经过的点可以是家、也可以是景点 C，还可以是 景点 D→ 家 这段行程转车时经过的点。

假设每个景点都有一个分数，请帮小熊规划一个行程，使得小熊访问的四个不同景点的分数之和最大。

需要注意的是：这四个景点并不是给定的，而是自己选取的。

输入格式

第一行包含三个正整数 n, m, k分别表示地图上点的个数、双向直达的点对数量、每段行程最多的转车次数。

第二行包含n−1 个正整数，分别表示编号为2,3,…,n 的景点的分数。

接下来 m 行，每行包含两个正整数 x,y表示点 x 和 y 之间有道路直接相连，保证 1≤x,y≤n，且没有重边，自环。

输出格式

输出一个正整数，表示小熊经过的 4 个不同景点的分数之和的最大值。

输入输出样例

输入样例#1

8 8 1 

9 7 1 8 2 3 6

1 2 

2 3 

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

8 1

输出样例 #1

27

输入样例#2

7 9 0 

1 1 1 2 3 4

1 2

2 3

3 4

1 5

1 6 

1 7 

5 4 

6 4 

7 4

输出样例#2

7

说明/提示

【样例解释 #1】

当计划的行程为 1→2→3→5→7→1 时，4 个景点的分数之和为 9 + 7 + 8 + 3 = 27，可以证明其为最大值。

附：行程 1→3→5→7→8→1 的景点分数之和为 24、行程 1→3→2→8→7→1 的景点分数之和为 25。它们都符合要求，但分数之和不是最大的。

行程1→2→3→5→8→1 的景点分数之和为 30，但其中5→8 至少需要转车 2 次，因此不符合最多转车 k=1 次的要求。

行程1→2→3→2→3→1 的景点分数之和为 32，但游玩的并非 4 个不同的景点，因此也不符合要求。

【样例 #3】

见附件中的 holiday/holiday3.in 与 holiday/holiday3.ans。

【数据范围】

对于所有数据，保证5≤n≤2500，1≤m≤10000，0≤k≤100，所有景点的分数1≤si≤100000000。保证至少存在一组符合要求的行程。

测试点编号

T2：策略游戏

题目描述

小 L 和小 Q 在玩一个策略游戏。

有一个长度为 n 的数组 A 和一个长度为 m 的数组 B，在此基础上定义一个大小为n×m 的矩阵 C，满足Cij=Ai×Bj。所有下标均从 1 开始。

游戏一共会进行 q 轮，在每一轮游戏中，会事先给出 4 个参数 l1,r1,l2,r2，满足1≤l1≤r1≤n、1≤l2≤r2≤m。

游戏中，小 L 先选择一个 l1∼r1 之间的下标 x，然后小 Q 选择一个l2∼r2 之间的下标 y。定义这一轮游戏中二人的得分是Cxy。

小 L 的目标是使得这个得分尽可能大，小 Q 的目标是使得这个得分尽可能小。同时两人都是足够聪明的玩家，每次都会采用最优的策略。

请问：按照二人的最优策略，每轮游戏的得分分别是多少？

输入格式

第一行输入三个正整数n,m,q，分别表示数组A，数组B的长度和游戏轮数。

第二行：n 个整数，表示Ai，分别表示数组 A 的元素。

第三行：m 个整数，表示Bi，分别表示数组 B 的元素。

接下来 q 行，每行四个正整数，表示这一次游戏的l1,r1,l2,r2。

输出格式

输出共 q 行，每行一个整数，分别表示每一轮游戏中，小 L 和小 Q 在最优策略下的得分。

输入输出样例

输入样例#1

3 2 2

0 1 -2 

-3 4 

1 3 1 2 

2 3 2 2

输出样例#1

0

4

输入样例 #2

6 4 5 

3 -1 -2 1 2 0

1 2 -1 -3

1 6 1 4

1 5 1 4

1 4 1 2

2 6 3 4 

2 5 2 3

输出样例#2

0 

-2 

3

2

-1

说明/提示

【样例解释 #1】

这组数据中，矩阵 C 如下：

在第一轮游戏中，无论小 L 选取的是 x=2 还是 x=3，小 Q 都有办法选择某个 y 使得最终的得分为负数。因此小 L 选择 x=1 是最优的，因为这样得分一定为 0。

而在第二轮游戏中，由于小 L 可以选x=2，小 Q 只能选y=2，如此得分为 4。

【样例 #3】

见附件中的 game/game3.in 与 game/game3.ans。

【样例 #4】

见附件中的 game/game4.in 与 game/game4.ans。

【数据范围】

对于所有数据，1≤n,m,q≤100000，−1000000000≤Ai,Bi≤1000000000。对于每轮游戏而言，1≤l1≤r1≤n，1≤l2≤r2≤m。

其中，特殊性质 1 为：保证Ai,Bi>0。
特殊性质 2 为：保证对于每轮游戏而言，要么l1=r1，要么l2=r2。

T3：星战

题目描述

在这一轮的星际战争中，我方在宇宙中建立了 n 个据点，以 m 个单向虫洞连接。我们把终点为据点 u 的所有虫洞归为据点 u 的虫洞。

战火纷飞之中这些虫洞很难长久存在，敌人的打击随时可能到来。这些打击中的有效打击可以分为两类：

1. 敌人会摧毁某个虫洞，这会使它连接的两个据点无法再通过这个虫洞直接到达，但这样的打击无法摧毁它连接的两个据点。

2. 敌人会摧毁某个据点，由于虫洞的主要技术集中在出口处，这会导致该据点的所有还未被摧毁的虫洞被一同摧毁。而从这个据点出发的虫洞则不会摧毁。

注意：摧毁只会导致虫洞不可用，而不会消除它的存在。

为了抗击敌人并维护各部队和各据点之间的联系，我方发展出了两种特种部队负责修复虫洞：

• A 型特种部队则可以将某个特定的虫洞修复。

• B 型特种部队可以将某据点的所有损坏的虫洞修复。

考虑到敌人打击的特点，我方并未在据点上储备过多的战略物资。因此只要这个据点的某一条虫洞被修复，处于可用状态，那么这个据点也是可用的。

我方掌握了一种苛刻的空间特性，利用这一特性我方战舰可以沿着虫洞瞬移到敌方阵营，实现精确打击。

为了把握发动反攻的最佳时机，指挥部必须关注战场上的所有变化，为了寻找一个能够进行反攻的时刻。总指挥认为：

• 如果从我方的任何据点出发，在选择了合适的路线的前提下，可以进行无限次的虫洞穿梭（可以多次经过同一据点或同一虫洞），那么这个据点就可以实现反击。

• 为了使虫洞穿梭的过程连续，尽量减少战舰在据点切换虫洞时的质能损耗，当且仅当只有一个从该据点出发的虫洞可用时，这个据点可以实现连续穿梭。

• 如果我方所有据点都可以实现反击，也都可以实现连续穿梭，那么这个时刻就是一个绝佳的反攻时刻。

总司令为你下达命令，要求你根据战场上实时反馈的信息，迅速告诉他当前的时刻是否能够进行一次反攻。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数n,m。

接下来 m 行每行两个数 u,v，表示一个从据点 u 出发到据点 v 的虫洞。保证 u != v (即u不等于v)，保证不会有两条相同的虫洞。初始时所有的虫洞和据点都是完好的。

接下来一行一个正整数 q 表示询问个数。

接下来 q 行每行表示一次询问或操作。首先读入一个正整数 t 表示指令类型：

• 若 t=1，接下来两个整数 u,v 表示敌人摧毁了从据点 u 出发到据点 v 的虫洞。保证该虫洞存在且未被摧毁。

• 若 t=2，接下来一个整数 u 表示敌人摧毁了据点 u。如果该据点的虫洞已全部被摧毁，那么这次袭击不会有任何效果。

• 若 t = 3，接下来两个整数 u,v 表示我方修复了从据点 u 出发到据点 v 的虫洞。保证该虫洞存在且被摧毁。

• 若 t = 4，接下来一个整数 u 表示我方修复了据点 u。如果该据点没有被摧毁的虫洞，那么这次修复不会有任何效果。

在每次指令执行之后，你需要判断能否进行一次反攻。如果能则输出 YES ，否则输出 NO。

输出格式

输出一共 q 行。对于每个指令，输出这个指令执行后能否进行反攻。

输入输出样例

输入样例 #1

3 6

2 3

2 1 

1 2

1 3

3 1

3 2

11

1 3 2 

1 2 3 

1 1 3 

1 1 2 

3 1 3 

3 3 2 

2 3

1 3 1

3 1 3 

4 2 

1 3 2

输出样例 #1

NO

NO

YES 

NO

YES

NO 

NO 

NO 

YES

NO 

NO

说明/提示

【样例解释 #1】

虫洞状态可以参考下面的图片, 图中的边表示存在且未被摧毁的虫洞：

【样例 #2】

见附件中的 galaxy/galaxy2.in 与 galaxy/galaxy2.ans。

【样例 #3】

见附件中的 galaxy/galaxy3.in 与 galaxy/galaxy3.ans。

【样例 #4】

见附件中的 galaxy/galaxy4.in 与 galaxy/galaxy4.ans。

【数据范围】

对于所有数据保证：1≤n≤500000，1≤m≤500000，1≤q≤500000。

T4：数据传输

题目描述

小 C 正在设计计算机网络中的路由系统。

测试用的网络总共有 n 台主机，依次编号为1∼n。这 n台主机之间由 n−1 根网线连接，第 i 条网线连接个主机 ai 和 bi。保证任意两台主机可以通过有限根网线直接或者间接地相连。受制于信息发送的功率，主机 a 能够直接将信息传输给主机 b 当且仅当两个主机在可以通过不超过 k 根网线直接或者间接的相连。

在计算机网络中，数据的传输往往需要通过若干次转发。假定小 C 需要将数据从主机 a 传输到主机 b（a != b），则其会选择出若干台用于传输的主机c1=a，c2,…,c(m−1)，c(m)=b，并按照如下规则转发：对于所有的 1≤i<m，主机 ci 将信息直接发送给 ci+1。

每台主机处理信息都需要一定的时间，第 i 台主机处理信息需要 vi 单位的时间。数据在网络中的传输非常迅速，因此传输的时间可以忽略不计。据此，上述传输过程花费的时间为： 

现在总共有 q 次数据发送请求，第 i 次请求会从主机 si 发送数据到主机 ti。小 C 想要知道，对于每一次请求至少需要花费多少单位时间才能完成传输。

输入格式

输入的第一行包含三个正整数 n,Q,k，分别表示网络主机个数，请求个数，传输参数。数据保证 1≤n≤200000，1≤Q≤200000，1≤k≤3。

输入的第二行包含 n 个正整数，第 i 个正整数表示 vi，保证 1≤vi≤1000000000。

接下来 n−1 行，第 i 行包含两个正整数 ai,bi，表示一条连接主机 ai,bi 的网线。保证 1≤ai,bi≤n。

接下来 Q 行，第 i 行包含两个正整数 si,ti，表示一次从主机 si 发送数据到主机 ti 的请求。保证1 ≤ si,ti ≤ n (si != ti)。

输出格式

Q 行，每行一个正整数，表示第 i 次请求在传输的时候至少需要花费多少单位的时间。

输入输出样例

输入 #1

7 3 3

1 2 3 4 5 6 7

1 2

1 3

2 4 

2 5 

3 6 

3 7 

4 7 

5 6 

1 2

输出 #1

12 

12 

3

说明/提示

【样例解释 #1】

对于第一组请求，由于主机 4,7 之间需要至少 4 根网线才能连接，因此数据无法在两台主机之间直接传输，其至少需要一次转发；我们让其在主机 1 进行一次转发，不难发现主机 1 和主机 4,7 之间都只需要两根网线即可连接，且主机 1 的数据处理时间仅为 1，为所有主机中最小，因此最少传输的时间为 4 + 1 + 7 = 12。

对于第三组请求，由于主机 1,2 之间只需要 1 根网线就能连接，因此数据直接传输就是最优解，最少传输的时间为1+2=3。

【样例 #2】

见附件中的 transmit/transmit2.in 与 transmit/transmit2.ans。

该样例满足测试点 2 的限制。

【样例 #3】

见附件中的 transmit/transmit3.in 与 transmit/transmit3.ans。

该样例满足测试点 3 的限制。

【样例 #4】

见附件中的 transmit/transmit4.in 与 transmit/transmit4.ans。

该样例满足测试点 20 的限制。

【数据范围】

对于所有的测试数据，满足 1≤n≤200000，1≤Q≤200000，1≤k≤3，1≤ai,bi≤n，1≤si,ti≤n，si != ti。

特殊性质：保证 ai=i+1，而 bi 则从 1,2,…,i 中等概率选取。

写在最后：

应该下周题解能写好，如果大家有想法欢迎留言哦！

这回题出的几乎全是树和图，T1也不想往年一样搞一道签到题，估计平均分也高不了太多吧。

打字不易，莫忘三连！~~~