1.Python的排列函数permutations()

itertools.permutations(iterable,r=None)

功能：连续返回由iterable序列中的元素生成的长度为r的排列
如果r未指定或为None，r默认设置为iterable的长度，即生成包含所有元素的全排列
简单应用示例如下：
代码清单1-1：

from itertools import *
s=['a','b','c']
for element in permutations(s,2):
    a=element[0]+element[1]
    # 或者这样写：
    # a=''.join(element)  #join表示组合
    print(a,end=' ')
1
2
3
4
5
6
7

输出：
ab ac ba bc ca cb

问：permutations()按什么顺序输出序列？
答：按元素的位置顺序输出元素的排列，也就是说，输出排列的顺序是位置的字典序。
例如s=[‘b’,‘a’,‘c’],执行permutations(s)，输出“bac bca abc acb cba cab”，并不是按字符的字典序输出排列，而是按位置顺序输出。

如果有相同的元素，不同位置的元素被认为不同。例如s=[‘a’,‘a’,‘c’],执行permutations(s)，输出“aac aca aac aca caa caa ”
代码清单1-2：

from itertools import *
s=['a','a','c']
for element in permutations(s):
    a=''.join(element)
    print(a,end=' ')
1
2
3
4
5

join方法只适用于字符型，数字可以采用for遍历的方法实现组合

代码清单1-3：

from itertools import *
s=[1,3,2]
for element in permutations(s):
    for j in element:
        print(j,end='')
    print(' ',end='')
1
2
3
4
5
6

输出：
132 123 312 321 213 231

问：如何输出看起来正常的“123 132 213 231 312 321”？
答：先把s=[‘1’,‘3’,‘2’]用sort()排序之后再执行permutations()

代码清单1-4：

from itertools import *
s=[1,3,2]
s.sort()
for i in permutations(s):
    print(i,end='')
1
2
3
4
5

输出：
(1, 2, 3)(1, 3, 2)(2, 1, 3)(2, 3, 1)(3, 1, 2)(3, 2, 1)

2.Python的组合函数combinations()

permutations()输出的是排列，元素的排列是分先后的，但有时只需要输出组合，不用分先后，此时可以使用combinations()函数
代码清单2-1：

from itertools import *
s=['1','3','2']
for element in combinations(s,2):
    a=''.join(element)
    print(a,end=' ')
1
2
3
4
5

输出：
13 12 32

3种组合，6种排列

同样，如果序列s中有相等的元素，不同位置的相等元素被认为不同。

代码清单2-2：

from itertools import *
s=['1','1','3','2']
for element in combinations(s,2):
    a=''.join(element)
    print(a,end=' ')
1
2
3
4
5

输出：
11 13 12 13 12 32

会发现重复打印“12”和“13”，想要解决问题可以用集合进行去重

代码清单2-3：

from itertools import *
s= {'1', '1', '3', '2'}
for element in combinations(s,2):
    a=''.join(element)
    print(a,end=' ')
1
2
3
4
5

输出：
12 13 23

但如果用集合表示，输出顺序是随机的，多次执行代码1-7，会发现每次输出的顺序不同

如果要去重且输出按字典序：先用set()去重，再排序，最后组合
代码清单2-4：

from itertools import *
s= {'1', '1', '3', '2'}
t=list(set(s))
t.sort()           #sort排序只对list
for element in combinations(t,2):
    a=''.join(element)
    print(a,end=' ')
1
2
3
4
5
6
7

或

from itertools import *
s= {'1', '1', '3', '2'}
t=sorted(set(s))       #sorted排序不需要转换为list 
for element in combinations(t,2):
    a=''.join(element)
    print(a,end=' ')
1
2
3
4
5
6

输出：
12 13 23

3.手写排列和组合代码

在某些场景下，Python提供的排列函数并不能用，需要手写代码实现排列组合。
下面是几种简单的手写方法：

手写排列代码：暴力法

代码清单3-1：

s=[1,2,3,4]
for i in range(4):    #循环三次，选三个数
    for j in range(4):
        if j!=i:           #保证每个循环的数不同
            for k in range(4):
                if k!=i and k!=j:
                    print("%d%d%d"%(s[i],s[j],s[k]),end=',')
1
2
3
4
5
6
7

输出：
123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432,

简单且效果好，但非常笨拙

手写组合代码：暴力法

代码清单3-2：

s=[1,2,3,4]
for i in range(4):        #循环三次，选三个数
    for j in range(i+1,4):
            for k in range(j+1,4):      #让第二个数比第一个大，第三个数比第二个大
                    print("%d%d%d"%(s[i],s[j],s[k]),end=',')
1
2
3
4
5

输出：
123,124,134,234,

排列数需要分先后，组合数不分先后，直接去掉if即可

手写组合代码：二进制法

一个包含n个元素的集合有2**n个子集，可以对应到二进制的概念，某一个集合中“有”或者“没有”这个元素，可以对应“1”或“0”
并且子集中的元素是不分先后的，这正符合组合的要求
下面的代码通过处理每个二进制数中的1，打印出 所有 的子集
代码清单3-3：

a=[1,2,3,4,5,6]
n=3          #打印前n个元素a[0]~a[n-1]的所有子集
for i in range(1<<n):     #1左位移3，相当于2**3
    #i是选取000~111的8个数
    print('{',end='')
    #打印一个子集，即打印i的二进制数中的所有的1
    for j in range(n):    #检查n次
        if i & (1<<j):    #从i的最低位开始，逐个检查每一位，如果是1，打印
            print(a[j],end=',')
    print('}',end=';')
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

输出：
{};{1,};{2,};{1,2,};{3,};{1,3,};{2,3,};{1,2,3,};

那么如何输出n个数中任意m个数的组合？
根据上面子集生成的二进制方法，一个子集对应一个二进制数；一个有m个元素的子集，对应的二进制数中有m个1
问题转化为：查找1的个数为m个的二进制数，这些二进制数对应了需要打印的子集

方法：可以直接定位二进制数中1的位置，跳过中间的0
用到一个神奇操作：k=k&(k-1)，功能是消除k的二进制数的最后一个1，连续进行这个操作，每次消除一个1，直到全部消除，操作次数就是1的个数
例如1011只需3次操作：

步骤：
用k=k&(k-1)清除k的最后一个1；
num++ 用num统计1的个数
继续上述操作，直到k=0

代码清单3-4：

a=[1,2,3,4,5,6,7]
def print_set(n,m):       #在n个数中取m个数的组合
    for i in range(2**n):     #2**n可以写成1<<n
        num,k = 0,i           #num统计i中1的个数；k用来处理i
        while(k>0):           #循环处理
            k=k&(k-1)         #清除k中最后一个1
            num +=1           #统计1的个数
        if num == m:          #二进制数中的1有m个，符合条件
            for j in range(n):
                if (i&(2**j)):print(a[j],end=' ')
            print("; ",end='')
n,m=4,3           #a的前4个数中选3个组合
print_set(n,m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

输出：
1 2 3 ; 1 2 4 ; 1 3 4 ; 2 3 4 ;