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【Python算法】数值分析—列主元高斯消元法——附源码

2023-03-31

元素 list 矩阵
 一、背景        线性方程组有很多种解法，可以最简单的直接代入消元计算，但是运算量较大，且过程复杂不直观。        

 一、背景

        线性方程组有很多种解法，可以最简单的直接代入消元计算，但是运算量较大，且过程复杂不直观。

        高斯消元法目的是预处理方程组的系数矩阵，将系数矩阵变换为上三角矩阵，这样整个方程就变得清晰直观很多，即使不借助计算机，也是可以很简单的手算出结果。

        原方程：

        高斯消元后的方程，这样最下行的方程只是一个简单的一元一次方程，倒数第二行是二元一次，依次倒着求解，整个过程变得清晰直观。（全部元素带撇“ ' ”， 是因为消元涉及大量的对换两行元素的运算，所以方程的书写顺序是在不断被改变的，只是为了保持美观和一致，仍采用下标1234n的写法）

        而列主元高斯消元法，是为了克服高斯消元法的”除法bug“的改进版本， 因为消元过程中用到了除法，对于计算机来说，如果一个很小的值作为分母，则其在迭代中产生的误差，在做除法后会被放大很多倍。如0.0001与0.0002的误差小，但是1/0.0001与1/0.0002的误差巨大。列主元思想，就顺应而生，在消元前，把列中最大的元素所在行放到矩阵的最上方，那么就可以让较大值做分母，从而避免了误差被除法放大的问题。

二、方法逻辑（function文件，完整代码在文末）

1.寻找一列中的最大元素，并返回其所在行数

  1. def get_max_row_in_column(matrix_a, j):
  2.     """ 获取第j列中最大元素的所在行数
  3.      此方法将被反复调用，所以每次运算时，不是从整个系数矩阵a中找最大行数，
  4.      而是从可能已经做过几次消元的系数矩阵a的(j, j)子矩阵(尚未进行消元操作的部分)中寻找最大行数 """
  5.     max_item = abs(matrix_a[j][j])
  6.     max_row = j
  7.     for i in list(range(j, matrix_a.shape[0])):
  8.         if abs(matrix_a[i][j]) > abs(max_item):
  9.             max_item = matrix_a[i][j]
  10.             max_row = i
  11.     return max_row

 2.交换系数矩阵a的两行元素

  1. def swap_row_in_matrix_a(matrix_a, max_row, i):
  2.     """ 在系数矩阵a中交换某两行的元素 """
  3.     for j in (list(range(i, matrix_a.shape[1]))):
  4.         temp = matrix_a[i][j]
  5.         matrix_a[i][j] = matrix_a[max_row][j]
  6.         matrix_a[max_row][j] = temp

 3.交换值矩阵b的两行元素

  1. def swap_row_in_matrix_b(matrix_b, max_row, i):
  2.     """ 在值矩阵b中交换某两行的元素 """
  3.     temp = matrix_b[i][0]
  4.     matrix_b[i][0] = matrix_b[max_row][0]
  5.     matrix_b[max_row][0] = temp

 4.高斯消元法主循环

  1. def method_elimination_gauss(matrix_a, matrix_b):
  2.     """ 高斯消元法主循环 """
  3.     for i in list(range(0, matrix_a.shape[0])):  # 逐行处理矩阵数据
  4.         max_row = get_max_row_in_column(matrix_a, i)  # 在当前系数矩阵的(i, i)子矩阵中获取第一列中最大元素所在行数，准备进行交换
  5.         swap_row_in_matrix_a(matrix_a, max_row, i)  # 将最大元素所在行数交换至(i, i)子矩阵的第一行
  6.         swap_row_in_matrix_b(matrix_b, max_row, i)  # 同时交换值矩阵b的元素，使方程的系数与值保持对应关系
  7.  
  8.         for k in list(range(i + 1, matrix_a.shape[0])):
  9.             if matrix_a[i][i] != 0:  # 此时从系数矩阵的(i, i)子矩阵中获取的[i][i]元素已经是该列中绝对值最大的数，若为0，则奇异
  10.                 scale_factor = (-matrix_a[k][i]/matrix_a[i][i])  # 计算接下来消元需要用到的比例因子
  11.             else:
  12.                 print('该矩阵奇异，无法求解方程组')
  13.                 sys.exit(0)
  14.  
  15.             for j in list(range(i, matrix_a.shape[1])):
  16.                 matrix_a[k][j] = scale_factor * matrix_a[i][j] + matrix_a[k][j]  # 消元，高斯消元法的核心之处
  17.             matrix_b[k][0] = scale_factor * matrix_b[i] + matrix_b[k][0]  # 对b进行同样的”消元“

5.在上三角方程的基础上求解方程 

  1. def solve_equation(matrix_a, matrix_b):
  2.     """ 求解消元后的上三角方程 """
  3.     x = np.zeros((matrix_a.shape[0], 1))
  4.     if matrix_a[-1][-1] != 0:
  5.         x[-1] = matrix_b[-1] / matrix_a[-1][-1]
  6.     else:  # 若此上三角方程的系数矩阵的最后一行最后一列元素为0，说明矩阵奇异，无数解
  7.         print('该矩阵奇异，无法求解方程组')
  8.         sys.exit(0)  # 强制退出
  9.  
  10.     for i in list(range(matrix_a.shape[0] - 2, -1, -1)):  # 从上三角方程最后一行开始解方程，倒着计算
  11.         sum_a = 0
  12.         for j in list(range(i + 1, matrix_a.shape[0])):
  13.             sum_a += matrix_a[i][j] * x[j]
  14.         x[i] = (matrix_b[i] - sum_a) / matrix_a[i][i]
  15.     return x

 三、最终实现（main文件，完整代码）

  1. import numpy as np
  2. import function as fun
  3.  
  4.  
  5. # 为保证程序的连续性，一下两个矩阵均采用numpy库的矩阵形式输入，而不以数组形式输入
  6. # 方程的系数矩阵a
  7. matrix_a = np.array([[0.4096, 0.1234, 0.3678, 0.2943],
  8.                      [0.2246, 0.3872, 0.4015, 0.1129],
  9.                      [0.3645, 0.1920, 0.3781, 0.0643],
  10.                      [0.1784, 0.4002, 0.2786, 0.3927]])
  11. # 方程的值矩阵b
  12. matrix_b = np.array([[1.1951],
  13.                     [1.1262],
  14.                     [0.9989],
  15.                     [1.2499]])
  16.  
  17. # 输出结果
  18. print("原系数矩阵a:")
  19. print(matrix_a, "\n")
  20. print("原值矩阵b:")
  21. print(matrix_b, "\n")
  22. fun.method_elimination_gauss(matrix_a, matrix_b)
  23. print("消元后的系数矩阵a")
  24. print(matrix_a, "\n")
  25. print("消元后的值矩阵b")
  26. print(matrix_b, "\n")
  27. print("最终求解结果:")
  28. print(fun.solve_equation(matrix_a, matrix_b))

 测试结果：

function文件完整代码

  1. import sys
  2. import numpy as np
  3.  
  4.  
  5. def get_max_row_in_column(matrix_a, j):
  6.     """ 获取第j列中最大元素的所在行数
  7.      此方法将被反复调用，所以每次运算时，不是从整个系数矩阵a中找最大行数，
  8.      而是从可能已经做过几次消元的系数矩阵a的(j, j)子矩阵(尚未进行消元操作的部分)中寻找最大行数 """
  9.     max_item = abs(matrix_a[j][j])
  10.     max_row = j
  11.     for i in list(range(j, matrix_a.shape[0])):
  12.         if abs(matrix_a[i][j]) > abs(max_item):
  13.             max_item = matrix_a[i][j]
  14.             max_row = i
  15.     return max_row
  16.  
  17.  
  18. def swap_row_in_matrix_a(matrix_a, max_row, i):
  19.     """ 在系数矩阵a中交换某两行的元素 """
  20.     for j in (list(range(i, matrix_a.shape[1]))):
  21.         temp = matrix_a[i][j]
  22.         matrix_a[i][j] = matrix_a[max_row][j]
  23.         matrix_a[max_row][j] = temp
  24.  
  25.  
  26. def swap_row_in_matrix_b(matrix_b, max_row, i):
  27.     """ 在值矩阵b中交换某两行的元素 """
  28.     temp = matrix_b[i][0]
  29.     matrix_b[i][0] = matrix_b[max_row][0]
  30.     matrix_b[max_row][0] = temp
  31.  
  32.  
  33. def method_elimination_gauss(matrix_a, matrix_b):
  34.     """ 高斯消元法主循环 """
  35.     for i in list(range(0, matrix_a.shape[0])):  # 逐行处理矩阵数据
  36.         max_row = get_max_row_in_column(matrix_a, i)  # 在当前系数矩阵的(i, i)子矩阵中获取第一列中最大元素所在行数，准备进行交换
  37.         swap_row_in_matrix_a(matrix_a, max_row, i)  # 将最大元素所在行数交换至(i, i)子矩阵的第一行
  38.         swap_row_in_matrix_b(matrix_b, max_row, i)  # 同时交换值矩阵b的元素，使方程的系数与值保持对应关系
  39.  
  40.         for k in list(range(i + 1, matrix_a.shape[0])):
  41.             if matrix_a[i][i] != 0:  # 此时从系数矩阵的(i, i)子矩阵中获取的[i][i]元素已经是该列中绝对值最大的数，若为0，则奇异
  42.                 scale_factor = (-matrix_a[k][i]/matrix_a[i][i])  # 计算接下来消元需要用到的比例因子
  43.             else:
  44.                 print('该矩阵奇异，无法求解方程组')
  45.                 sys.exit(0)
  46.  
  47.             for j in list(range(i, matrix_a.shape[1])):
  48.                 matrix_a[k][j] = scale_factor * matrix_a[i][j] + matrix_a[k][j]  # 消元，高斯消元法的核心之处
  49.             matrix_b[k][0] = scale_factor * matrix_b[i] + matrix_b[k][0]  # 对b进行同样的”消元“
  50.  
  51.  
  52. def solve_equation(matrix_a, matrix_b):
  53.     """ 求解消元后的上三角方程 """
  54.     x = np.zeros((matrix_a.shape[0], 1))
  55.     if matrix_a[-1][-1] != 0:
  56.         x[-1] = matrix_b[-1] / matrix_a[-1][-1]
  57.     else:  # 若此上三角方程的系数矩阵的最后一行最后一列元素为0，说明矩阵奇异，无数解
  58.         print('该矩阵奇异，无法求解方程组')
  59.         sys.exit(0)  # 强制退出
  60.  
  61.     for i in list(range(matrix_a.shape[0] - 2, -1, -1)):  # 从上三角方程最后一行开始解方程，倒着计算
  62.         sum_a = 0
  63.         for j in list(range(i + 1, matrix_a.shape[0])):
  64.             sum_a += matrix_a[i][j] * x[j]
  65.         x[i] = (matrix_b[i] - sum_a) / matrix_a[i][i]
  66.     return x

 demo源码链接如下

github地址：https://github.com/method_elimination_gauss

gitee地址：https://gitee.com/darlingxyz/method_elimination_gauss

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