问题：

求a的b次方对c取余的值。其中a,b,c都是整数，且0<a,c<10的九次方，0<b<10的18次方。

首先，我们最朴素的算法是用循环直接计算a的b次方的值，最后将其对c取模。

代码如下：

long long int sum,a,b,i,c;//其中a是底数，b是指数
for(i=1;i<=b;i++)
{
sum=sum*a;
}
sum%=c;

显然这个算法有很多缺陷，比如循环从i=1到i=b，它的复杂度是O（b），如果b=10的18次方，

那么它的时间复杂度是很高的。并且sum累乘的值可能会超过long long的范围。

算法设计：

取模运算的性质是：(a*b)%p=(a%p)*(b%p)%p;那么它有什么用呢？之前我们的方法是将a不断的相乘，相乘之后的结果再进行取模运算，那么现在，我们可以每做一次乘法就对p取模。这大大会优化我们的算法，但是时间复杂度却没有减少。我们仍然需要考虑这样的一个问题：

我们算2的10次方的时候，首先可以将2的10次方转换为4的5次方，然后转换为4*4的4次方，最后转换为4*16的平方，进而计算出所得结果。

那么我们通过这种方法，可以明显降低算法的时间复杂度，由O(b)变为了O(log(b));

代码实现：

#include<stdio.h>
int main()
{
   int n,sum=1;//作为最后结果
   int t=2;//作为一个数的底数，这里以2为例
   int z;//z是要取模的那个数
   scanf("%d",&z);
   scanf("%d",&n);//指数
   while(n){
      if(n%2==1){
         sum=(sum*t)%z;/*对于每一次乘法都要进行取模运算*/
      }
      t=(t*t)%z;
      n=n/2;
   }
   printf("%d",sum);
    
}