Python | 蓝桥杯进阶第三卷——动态规划

2023-03-31

nums dp 珠子

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专栏： 蓝桥杯Python组刷题日寄

Python|蓝桥杯进阶第三卷——动态规划

🎁 能量项链
🌲 夺宝奇兵
🚀 和最大子序列
💡 超级玛丽
🍞 2^k进制数

🎁 能量项链

题目：
时间限制：
1s

内存限制：
128MB

题目描述：
在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 N 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 m，尾标记为 r，后一颗能量珠的头标记为 r，尾标记为 n，则聚合后释放的能量为 m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为 m，尾标记为 n。
需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
例如：设 N=4，4 颗珠子的头标记与尾标记依次为 (2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号 ◎ 表示两颗珠子的聚合操作，(j◎k) 表示第 j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 4、1 两颗珠子聚合后释放的能量为：
(4◎1)=10*2*3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4◎1)◎2)◎3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

输入描述：
第一行是一个正整数 N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。
第二行是 N 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 1000。第 i 个数为第 i 颗珠子的头标记（1≤i≤N），当 i<N 时，第 i 颗珠子的尾标记应该等于第 i+1 颗珠子的头标记。第 N 颗珠子的尾标记应该等于第 1 颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出描述：
只有一行，是一个正整数 E(E ≤ 2.1*10^9)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量

样例输入：

样例输出：
710

解题思路

针对动态规划类的题目，我们通常采取以下思路：

确定 dp 数组以及下标的含义
确定递推公式
初始化 dp 数组
确定遍历顺序

接下来的题目我们都会按照这个思路。

确定 dp 数组及其下标的含义：
dp[i][j] 表示第 i 颗珠子到第 j 颗珠子聚合成一颗珠子后所释放的最大能量。

确定递推公式：
dp[i][j] = max(dp[i][k] + dp[k+1][j] + nums[i]*nums[k+1]*nums[j+1]), $i\leq k <j$ , $k$ 为断点

这里的 nums[i] 表示第 i 颗珠子的头标记，但注意，项链为环状，我们可以将链状结构复制一份到后方，同时在末尾再加上第1颗珠子的头标记，比如：样例中的 2, 3, 5, 10，经过处理后是 nums=[2, 3, 5, 10, 2, 3, 5, 10, 2].

注意：从第 k 个位置断开（i ~ k 已经聚合成了一个珠子且 k+1 ~ j 也已经聚合成了一个珠子，这个在状态转移的过程中已经处理好了）左右两个珠子聚合得到的能量为 nums[i]*nums[k+1]*nums[j+1]

初始化 dp 数组：
都初始化为0即可。

确定遍历顺序：
顺序遍历即可。

参考代码

n = int(input())
nums = list(map(int, input().split())) * 2
nums.append(nums[0])
dp = [[0 for j in range(2*n)] for i in range(2*n)]
res = 0

# 递推
# 枚举区间长度
for length in range(1, n):
    # 枚举区间起点
    for i in range(2*n):
        # 计算区间终点
        j = i + length
        # 区间终点超出索引，退出
        if j >= 2*n:
            break
        # 枚举区间断点
        for k in range(i, j):
            # 状态转移
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+nums[i]*nums[k+1]*nums[j+1])
        # 计算res，最大值
        res = max(res, dp[i][j])

print(res)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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18
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21
22
23
24

🌲 夺宝奇兵

题目：
时间限制：
1s

内存限制：
128MB

题目描述：
在一座山上,有很多很多珠宝,它们散落在山底通往山顶的每条道路上,不同道路上的珠宝的数目也各不相同.下图为一张藏宝地图:

7
3  8
8  1  0
2  7  4  4
4  5  2  6  5
1
2
3
4
5

”夺宝奇兵”从山下出发,到达山顶,如何选路才能得到最多的珠宝呢?（每次只能直上或左上）
在上图所示例子中,按照 5-> 7-> 8-> 3-> 7 的顺序,将得到最大值 30.

输入描述：
第一行正整数 N(100 >= N >1),表示山的高度
接下来有 N 行非负整数,第 i 行有 i 个整数 (1 <= i <=N),表示山的第 i 层上从左到右每条路上的珠宝数目。

输出描述：
一个整数,表示从山底到山顶的所能得到的珠宝的最大数目.

样例输入：

样例输出：
30

解题思路

确定 dp 数组及其下标的含义：
dp[i][j] 表示位置 i,j 对应的珠宝最大数目。

确定递推公式：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j] + cell[i][j], dp[i-1][j-1] + cell[i][j])

初始化 dp 数组：
都初始化为0即可。

确定遍历顺序：
从上往下遍历即可。

参考代码

n = int(input())
# cell 为每个位置的珠宝数目
cell = []
for i in range(n):
    cell.append(list(map(int, input().split())))
# dp[i][j] 表示位置 i,j 对应的珠宝最大数目
dp = [[0 for j in range(n)] for i in range(n)]
dp[0][0] = cell[0][0]
# 从上往下遍历
for i in range(n):
    for j in range(i+1):
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j] + cell[i][j], dp[i-1][j-1] + cell[i][j])

# 最后一层的最大值
res = max(dp[-1])
print(res)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

🚀 和最大子序列

题目：
时间限制：
1s

内存限制：
128MB

题目描述：
对于一个给定的长度为 N 的整数序列 A，它的“子序列”的定义是：A 中非空的一段连续的元素（整数）。你要完成的任务是，在所有可能的子序列中，找到一个子序列，该子序列中所有元素的和是最大的（跟其他所有子序列相比）。程序要求你输出这个最大值。

输入描述：
输入文件的第一行包含一个整数 N，第二行包含 N 个整数，表示 A。
其中
1 < = N < = 100000
-10000 <= A[i] <= 10000

输出描述：
输出仅包含一个整数，表示你算出的答案。

样例输入：

5
3 -2 3 -5 4
1
2

样例输出：
4

解题思路

确定 dp 数组及其下标的含义：
dp[i] 表示序列 nums[:i+1] 的子序列的最大和。

确定递推公式：
dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])

初始化 dp 数组：
初始化为 nums[0] 即可。

确定遍历顺序：
顺序遍历即可。

参考代码

n = int(input())
nums = list(map(int, input().split()))
print(nums[:1])
# dp[i] 表示序列 nums[:i+1] 的子序列的最大和
dp = [nums[0] for i in range(n)]
for i in range(1, len(nums)):
    dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])
print(max(dp))
1
2
3
4
5
6
7
8

💡 超级玛丽

题目：
时间限制：
1s

内存限制：
128MB

题目描述：
大家都知道" 超级玛丽" 是一个很善于跳跃的探险家，他的拿手好戏是跳跃，但它一次只能向前跳一步或两步。有一次，他要经过一条长为 n 的羊肠小道，小道中有 m 个陷阱，这些陷阱都位于整数位置，分别是 $a 1, a 2, ...., am$ ，陷入其中则必死无疑。显然，如果有两个挨着的陷阱，则玛丽是无论如何也跳过不去的。
现在给出小道的长度 n，陷阱的个数及位置。求出玛丽从位置 1 开始，有多少种跳跃方法能到达胜利的彼岸（到达位置 n）。

输入描述：
第一行为两个整数 n,m
第二行为 m 个整数，表示陷阱的位置

数据规模和约定
40 >= n >= 3, m >= 1
n > m;
陷阱不会位于 1 及 n 上

输出描述：
一个整数。表示玛丽跳到 n 的方案数

样例输入：

样例输出：
1

解题思路

确定 dp 数组及其下标的含义：
dp[i] 表示到达位置 i 的跳跃方法数。

确定递推公式：
当满足：index.count(i) == 0 即此处没有陷阱， dp[i] = dp[i-j] + dp[i]

初始化 dp 数组：
初始化为 0 即可。

确定遍历顺序：
顺序遍历即可。

参考代码

n, m = map(int, input().split())
index = list(map(int, input().split()))
# dp[i] 表示到达位置 i 的跳跃方法数
# dp[0] = 0 便于后续处理
dp = [0 for i in range(n+1)]
dp[1] = 1
for i in range(2, n+1):
    for j in [1, 2]:
        # 判断前两个位置是否有陷阱
        if index.count(i) == 0:
            dp[i] = dp[i-j] + dp[i]
print(dp[-1])
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

🍞 2^k进制数

题目：
时间限制：
1s

内存限制：
128MB

题目描述：
设 $r$ 是个 $2^k$ 进制数，并满足以下条件：

$r$ 至少是个 $2$ 位的 $2^k$ 进制数。
作为 $2^k$ 进制数，除最后一位外， $r$ 的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
将 $r$ 转换为 $2$ 进制数 $q$ 后，则 $q$ 的总位数不超过 $w$ 。

在这里，正整数 $k (1 \leq k \leq 9)$ 和 $w (k < w \leq 30000)$ 是事先给定的。

问：满足上述条件的不同的 $r$ 共有多少个？
我们再从另一角度作些解释：设 $S$ 是长度为 $w$ 的 01字符串（即字符串 $S$ 由 $w$ 个0或1组成）， $S$ 对应于上述条件中的 $q$ 。将 $S$ 从右起划分为若干个长度为 $k$ 的段，每段对应一位 $2^k$ 进制的数，如果 $S$ 至少可分成 $2$ 段，则 $S$ 所对应的二进制数又可以转换为上述的 $2^k$ 进制数 $r$ 。

例：设 $k = 3 ， w = 7$ 。则 $r$ 是个八进制数 $2^3=8)$ 。由于 $w = 7$ ，长度为 7 的 01 字符串按 3位一段分，可分为 3 段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：

2位数：
高位为1：6 个（即 12，13，14，15，16，17 ），高位为 2：5 个，…，高位为6：1个（即67 ）。共 6+5+…+1=21 个。

3位数：
高位只能是1，第 2 位为 2 ：5 个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第 2 位为 6：1个（即 167）。共5+4+…+1=15个。
所以，满足要求的 $r$ 共有 36个。

输入描述：
只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
$k$ $w$

输出描述：
1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的 $r$ 的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。
（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

样例输入：
3 7
样例输出：
36

解题思路

确定 dp 数组及其下标的含义：
dp[i][j] 表示有 (i+1) 位数字，最高位数字是 j 时满足条件的数字个数。

确定递推公式：
若 j！=0 ：dp[i][j] = dp[i-1][j+1]+dp[i-1][j+2]+dp[i-1][j+3]······
也就是说最高位不是0的时候，满足条件的数字个数是，第二高位的数字大于最高位的数字的情况的和。
若j==0：dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i-1][j+1]+dp[i-1][j+2]+dp[i-1][j+3]······
如果最高位是 0，那么第二高位数字则可以取0。也就比上一个情况多加了个 dp[i-1][j]。

初始化 dp 数组：
dp[0][j]=1 即只有一位数字时只有一种情况

确定遍历顺序：
顺序遍历即可。

此外注意最终结果的计算和处理，具体见代码。

参考代码

import math
k, w = map(int, input().split())
# rows, cols 为dp数组的行数和列数
rows, cols = w//k+1, 2**k
# i 是 2^k 进制下数字的位数
# j 是 每一位上可以取到的值
# dp[i][j] 表示有 (i+1) 位数字，最高位数字是 j 时满足条件的数字个数
dp = [[0 for j in range(cols)] for i in range(rows)]
# 初始化 res，为结果
res = 0

# dp 数组初始化
# dp[0][j] 表示有 1 位数字的情况
for j in range(cols):
    dp[0][j] = 1

# 递推
for i in range(1, rows):
    for j in range(cols):
        dp[i][j] = sum(dp[i-1][j+1:])
        if j == 0:
            dp[i][j] += dp[i-1][j]

# 计算最后的结果
if w%k == 0:
    # 此时最高位可以取 0 到 cols, 即最后一行所有情况都可以用
    res = sum(dp[-1])
else:
    # 此时最高位只能取 0 到 2**(w%k)-1
    res = sum(dp[-1][:2**(w%k)])

# 题目中要求位数 >= 2
# 需要减去只有一位数的情况
if w/k <= 1:
    res = 0
else:
    res -= 2**k
print(res)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
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23
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25
26
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30
31
32
33
34
35
36
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38