DP入门之斐波那契数

2023-02-28

int dp 题目

斐波那契数，通常用F(n)表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由0和1开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：F(0)=0，F(1)=1F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中n>1给你n，请计算F(n)。示例1：输入：2输出：1解释：F(2)=F(1)+F(0)=1+0=1

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

0 <= n <= 30

思路

斐波那契数列大家应该非常熟悉不过了，非常适合作为动规第一道题目来练练手。

因为这道题目比较简单，可能一些同学并不需要做什么分析，直接顺手一写就过了。

但「代码随想录」的风格是：简单题目是用来加深对解题方法论的理解的。

通过这道题目让大家可以初步认识到，按照动规五部曲是如何解题的。

对于动规，如果没有方法论的话，可能简单题目可以顺手一写就过，难一点就不知道如何下手了。

所以我总结的动规五部曲，是要用来贯穿整个动态规划系列的，就像之前讲过二叉树系列的递归三部曲，回溯法系列的回溯三部曲一样。后面慢慢大家就会体会到，动规五部曲方法的重要性。

动态规划

动规五部曲：

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2.确定递推公式

为什么这是一道非常简单的入门题目呢?

因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3.dp数组如何初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：

dp[0] = 0; 
dp[1] = 1; 
1.
2.

4.确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5.举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

以上我们用动规的方法分析完了，C++代码如下：

class Solution { 
public: 
    int fib(int N) { 
        if (N <= 1) return N; 
        vector<int> dp(N + 1); 
        dp[0] = 0; 
        dp[1] = 1; 
        for (int i = 2; i <= N; i++) { 
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; 
        } 
        return dp[N]; 
    } 
}; 
1.
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时间复杂度：
空间复杂度：

当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。

代码如下：

class Solution { 
public: 
    int fib(int N) { 
        if (N <= 1) return N; 
        int dp[2]; 
        dp[0] = 0; 
        dp[1] = 1; 
        for (int i = 2; i <= N; i++) { 
            int sum = dp[0] + dp[1]; 
            dp[0] = dp[1]; 
            dp[1] = sum; 
        } 
        return dp[1]; 
    } 
}; 
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时间复杂度：
空间复杂度：

递归解法

本题还可以使用递归解法来做

代码如下：

class Solution { 
public: 
    int fib(int N) { 
        if (N < 2) return N; 
        return fib(N - 1) + fib(N - 2); 
    } 
}; 
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