如何更好地理解递归算法？Python实例详解

2023-02-28

递归 fact fab

递归确实是一种较为抽象的数学逻辑，可以简单的理解为「程序调用自身的算法」。维基百科对递归的解释是：递归(英语：Recursion)，又译为递回，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。递归一词还较常用于描述以自相似方法重复事物的过程。例如，当两面镜子相互之间近似平行时，镜中嵌套的

递归确实是一种较为抽象的数学逻辑，可以简单的理解为「程序调用自身的算法」。

维基百科对递归的解释是：

递归(英语：Recursion)，又译为递回，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。递归一词还较常用于描述以自相似方法重复事物的过程。

例如，当两面镜子相互之间近似平行时，镜中嵌套的图像是以无限递归的形式出现的。也可以理解为自我复制的过程。

"递"是传递的意思，"归"是归还的意思，先把一个方法一层层传递下去，然后传递到最后一层再把结果归还回来。

比方说我排队做核酸检测，前面有100个人，我想问下医务人员几点下班，于是问了我前面那兄弟，他又问了他前面的人，一个个传递下去，最终传递到了医务人员那里，回话说下午六点下班。这句话又往回传，最终到了我这里，我知道了医务人员六点下班。

这个过程就是一个递归过程，如果说"传话"本身是一种方法，那这整个传话过程就是在调用自身方法，最终获得了结果。

这和循环不一样，循环相当于给所有人都所有人都戴了耳机，然后有"中介"挨个去问你知道医务人员几点下班吗，等问到医务人员的时候，得到答案，“中介”告诉我六点下班。

实质上，递归就是把一个大问题不断拆解，像剥洋葱一样，最终拆解到最小层面，会返回解题结果。

用Python举一个最简单的递归函数例子，讲一讲什么是递归的应用。

我们经常会看到函数会调用自身来实现循环操作，比如求阶乘的函数。

整数n的阶乘即n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1。

如下面5行Python代码，就能实现阶乘的计算。

def fact(n):
    ''' n表示要求的数的阶乘 '''
    if n==1:
        return n 
    n = n*fact(n-1)
    return n  
print(factorial(5))
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很多人可能困惑这里面的计算逻辑，为什么fact函数中调用了自身，最终能得到结果。

我们可以按照数学逻辑进行推演：

整数n的阶乘是：fact(n) = n*(n-1)*...*3*2*1。

整数n-1的阶乘是：fact(n-1) = (n-1)*(n-2)*...*3*2*1。

所以可以推断 fact(n) = n*fact(n-1)。

这里是不是一种 fact方法可以为每个数所调用，最终调用到了n=1的时候，就返回结果n的阶乘。

大家看上图，递归函数会一层层往下调用，最终到n=1的时候，往上返回结果。

这就是递归的全过程，如果我们给递归下一个准确的定义，可以概括为以下3点：

1、至少有一个明确的递归结束条件。

2、给出递归终止时的处理办法。

3、每次进入更深一层递归时，问题规模(计算量)相比上次递归都应有所减少。

以上面代码为例：

def factorial(n):
    ''' n表示要求的数的阶乘 '''
    if n==1: # 1、明确递归终止条件；
        return n # 2、递归终止时的处理办法
    n = n*factorial(n-1) # 递去
    return n  # 归来
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除了常见的阶乘案例，还有斐波那契数列，也是递归的经典用法。

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89...

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

它以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1,F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n≥ 2，n∈ N*)。

在Python中，我们可以使用递归函数的方式去实现斐波那契数列：

# 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，试判断数列第12个数是哪个？
def fab(n):
    ''' n为斐波那契数列 '''
    if n <= 2:
        v = 1
        return v 
    v = fab(n-1)+fab(n-2) 
    return v  

print(fab(12)) 
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使用数学方法进行推导：

fab(0) = 0(初始值)。
fab(1) = 1(初始值)。
对所有大于1的整数n：fab(n) = fab(n-1)+ fab(n-2)(递归定义)。

其实以上两个递归的案例都可以用数学归纳法来解释，就是高中数学学的知识。

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：

(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况。

(2)假设当n=k(k≥n0，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合(1)(2)，对一切自然数n(≥n0)，命题P(n)都成立。

除了数学的解释，之前也看到有人对递归更加形象的解释：

1、我们已经完成了吗?如果完成了，返回结果。如果没有这样的终止条件，递归将会永远地继续下去。

2、如果没有，则简化问题，解决较容易的问题，并将结果组装成原始问题的解决办法。然后返回该解决办法。

哈哈,到这里大家是不是对递归有了一个更加深刻的认识。

如果还不清楚，没关系，这里还有更多的递归案例，用Python来实现，可以说非常简洁。

「最大公因数：」

def gcd(m, n):
    if n == 0:
        return m
    else:
        return gcd(n, m%n)
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「从 1 到 n 的数字之和：」

def sumnums(n):
    if n == 1:
        return 1
    return n + sumnums(n - 1)

print(sumnums(3))
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「字符串倒序：」

def reverse(string):
    if len(string) == 0:
        return string
    else:
        return reverse(string[1:]) + string[0]

reverseme = '我是帅哥'
print(reverse(reverseme))
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「汉诺塔问题：」

def towerOfHanoi(numrings, from_pole, to_pole, aux_pole):
    if numrings == 1:
        print('Move ring 1 from', from_pole, 'pole to', to_pole, 'pole')
        return
    towerOfHanoi(numrings - 1, from_pole, aux_pole, to_pole)
    print('Move ring', numrings, 'from', from_pole, 'pole to', to_pole, 'pole')
    towerOfHanoi(numrings - 1, aux_pole, to_pole, from_pole)
numrings = 2
towerOfHanoi(numrings, 'Left', 'Right', 'Middle')
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「二分法找有序列表指定值：」

data = [1,3,6,13,56,123,345,1024,3223,6688]
def dichotomy(min,max,d,n):
    '''
    min表示有序列表头部索引
    max表示有序列表尾部索引
    d表示有序列表
    n表示需要寻找的元素
    '''
    mid = (min+max)//2
    if mid==0:
        return 'None'
    elif d[mid]<n:
        print('向右侧找！')
        return dichotomy(mid,max,d,n)
    elif d[mid]>n:
        print('向左侧找！')
        return dichotomy(min,mid,d,n)
    else:
        print('找到了%s'%d[mid])
        return 
res = dichotomy(0,len(data),data,222)
print(res)
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